Gruppo di Logica e Geometria della Cognizione

Saranno sviluppati e approfonditi alcuni temi trattati da Jean-Yves Girard nel suo seminario al Colloquium di Matematica, 8 ottobre 2014

Saranno sviluppati e approfonditi alcuni temi trattati da Jean-Yves Girard nel suo seminario al Colloquium di Matematica, 8 ottobre 2014

Una categoria monoidale simmetrica è una categoria munita di un prodotto (binario) associativo e commutativo e di un oggetto che rappresenta l'unità per questo prodotto. Queste proprietà sono soddisfatte modulo isomorfismi naturali che verificano delle condizioni di coerenza. Il teorema di coerenza afferma la commutatività di tutti i diagrammi (lineari) costituiti da questi isomorfismi.
Dopo un'introduzione agli string diagrams e alla riscrittura, dimostreremo il teorema di coerenza provando la convergenza del sistema di riscrittura di Y. Lafont e usando questo per costruire una base dell'omotopia tramite la quale verificare la commutatività di ogni diagramma in una categoria monoidale simmetrica.

En termes kantiens, l’objet nu et son type, c’est analytique/synthétique.

L’analytique est ce qu’il reste quand on a évacué le sens, ie, l’engagement : tout est sur la table. Il se décline en constatatif (incrémental) et performatif (destructif). Le paradigme d’unification permet de représenter le performatif sans agent extérieur.

Le synthétique est ce qui donne le sens à l’analytique ; engagé, il est soumis au doute. Il se divise en deux branches. L’a posteriori ou format, qui donne un sens à l’analytique constatatif, consiste à passer des sortes de tests de sortie d’usine, comme dans les réseaux de démonstration : c’est le sens comme question.
L’a priori ou socialisation donne un sens à l’analytique performatif, c’est ici que s’insinue le doute fondationnel : c’est le sens comme usage.

Les deux synthétiques sont les deux façons de dire « A est A » : axiome (a posteriori) et coupure (a priori), rallonge entre deux prises opposées vs raccordement de prises. Alors que la rallonge n’est pas soumise au doute, le branchement est problématique, dangereux. Y a-t-il équilibre entre les droits (la prise comme sortie) et les devoirs (sa prise opposée comme entrée) ?

Le synthétique a posteriori est formulable à travers une sorte d’analytique non déterministe. L’objet mathématique se présente finalement comme une épure, une combinaison véhicule (analytique) + gabarit (synthétique). Le synthétique a priori combine les épures selon leurs gabarits, leurs types ; et il n’y a pas de certitude absolue, légitime, quant à ces combinaisons.

Techniquement parlant, le passage aux épures devrait répondre à un certain nombre de questions irritantes, comme celle de trouver des habitants au type vide : ce seraient des entités qui ne séparent pas nettement l’objet et le sujet.

Most philosophers won’t hesitate to nominate 2+2=4 as the paragon of a mathematical theorem : a complete misunderstanding.

We can either see 2+2=4 as a computation, i.e., an activity not involving any sense, any reasoning : analytic in the kantian acception. Or we can see 2+2=4 as the result of a reasoning — hence synthetic — however based on experience : everything can be checked, there is no room for doubt. This synthetic a posteriori is not typical of mathematics, which is naturally synthetic a priori. This means that mathematics cannot be justified — hence the failure of the foundational programs of a century ago.

If these programs didn’t succeed in alleviating our — however, unreasonable — doubts, they however individuated, inside mathematics, a synthetic a posteriori layer. This on a large scale, not limited to finite computations. How is it possible to deal with infinity and still be based on experience ? And what does this mean ?

Quasicrystals are ordered crystalline structures with no translational
symmetries. A quasicrystalline alloy was first observed by Shechtman in early
80's, for which he was awarded with the Nobel prize in Chemistry in 2011.

The mathematical characterization of quasicrystals is a challenging open
problem which attracted an increasing interest of researchers due to its
possible applications to several scientific fields, including photonic
computing.

We overview classical mathematical models for quasicrystals. A particular
attention will be given to one of the largest known class of mathematical
quasicrystals, the Meyer sets, and their relation with expansions in
non-integer bases.

Una categoria monoidale simmetrica e' una categoria munita di un prodotto (binario) associativo e commutativo e di un oggetto che rappresenta l'unita' per questo prodotto. Queste proprieta' sono soddisfatte modulo isomorfismi naturali che verificano delle condizioni di coerenza. Il teorema di coerenza afferma la commutativita' di tutti i diagrammi lineari costituiti da questi isomorfismi.

Dopo un'introduzione agli string diagrams e alla riscrittura, dimostreremo il teorema di coerenza provando la convergenza del sistema di riscrittura di Y. Lafont e usando questo per costruire una base dell'omotopia tramite la quale verificare la commutativita' di ogni diagramma in una categoria monoidale simmetrica.