Gruppo di Logica e Geometria della Cognizione

It has long been a difficult task to explain what should be understood by the concept of analysis in the tradition starting with Pappus of Alexandria. Leibniz has himself devoted many lines to the subject. We here focus on a two pages written in which he exemplifies how the analysis of a mathematical proposition in need of proof should proceed. Although we have reasons to believe that his particular example is faulty, we can nonetheless extract a general description of what should be the process of anagogical analysis, provided we stick to some logical concepts Kolmogorov had advanced as an interpretation for logical constants. As we'll see, the concept of hypotheses (or problem) has an important role in the development of the process.

In questo intervento, che ripercorre alcuni contenuti della mia tesi di dottorato, saranno esaminate alcune forme di « circolarità » che appaiono nella teoria della dimostrazione della logica del secondo ordine e della sua controparte costruttiva, il Sistema F.
Queste circolarità, o « circoli viziosi » (Poincaré 1906), saranno analizzate sulla base della distinzione tra due punti di vista corrispondenti a metodologie distinte e irriducibili (a causa dei teoremi di incompletezza): il primo (« le pourquoi », Girard 2000) é focalizzato sulla questione della coerenza e dell’Hauptsatz e richiede dei metodi di dimostrazione infinitari (ovvero non elementari). Il secondo (« le comment », Girard 2000) é focalizzato sul contenuto computazionale e combinatorio delle dimostrazioni, dato dalla corrispondenza tra prove e programmi, e non richiede che metodi elementari di dimostrazione.
Questa distinzione metodologica permette di mettere in luce nel dettaglio le limitazioni epistemologiche a cui va incontro la logica del secondo ordine (cosa può essere deciso in modo elementare, ovvero con certezza? Cosa invece non può mai essere stabilito al di là di ogni ragionevole dubbio?)

In questo intervento, che ripercorre alcuni contenuti della mia tesi di dottorato, saranno esaminate alcune forme di « circolarità » che appaiono nella teoria della dimostrazione della logica del secondo ordine e della sua controparte costruttiva, il Sistema F.
Queste circolarità, o « circoli viziosi » (Poincaré 1906), saranno analizzate sulla base della distinzione tra due punti di vista corrispondenti a metodologie distinte e irriducibili (a causa dei teoremi di incompletezza): il primo (« le pourquoi », Girard 2000) é focalizzato sulla questione della coerenza e dell’Hauptsatz e richiede dei metodi di dimostrazione infinitari (ovvero non elementari). Il secondo (« le comment », Girard 2000) é focalizzato sul contenuto computazionale e combinatorio delle dimostrazioni, dato dalla corrispondenza tra prove e programmi, e non richiede che metodi elementari di dimostrazione.
Questa distinzione metodologica permette di mettere in luce nel dettaglio le limitazioni epistemologiche a cui va incontro la logica del secondo ordine (cosa può essere deciso in modo elementare, ovvero con certezza? Cosa invece non può mai essere stabilito al di là di ogni ragionevole dubbio?)

La Ludica è un programma di ricerca iniziato da J.-Y. Girard nel 2001 allo scopo di fornire un fondamento della logica basato sull'interazione. Attualmente, diversi studi sono condotti, che guardano alla ludica come un modello computazionale del linguaggio naturale e, in particolare, del dialogo. Lo scopo del seminario sarà introdurre gentilmente – anche attraverso qualche esempio - a questo campo della ricerca.

Richard Feynman fu il primo pensatore a percepire la necessità di ampliare il concetto di computer in base
alla teoria della meccanica quantistica. Se la realtà in cui viviamo è descritta in maniera più efficace dalla
teoria quantistica piuttosto che dalla classica, non dovrebbe essere così anche per i simulatori della realtà, i computer?

Saranno presentate le basilari nozioni di qubit (la cella di informazione quantistica) e di porte logiche quantistiche
(unarie e binarie), mostrando una panoramica generale sui circuiti quantistici, sul fenomeno dell’entanglement
e sul concetto di separabilità. Si discuteranno la definizione e le proprietà di una particolare famiglia di matrici,
le matrici di Bell, in grado di implementare l'operazione logica di entanglement.

In particolare, si mostrerà come, dal circuito che genera coppie EPR, si sia arrivati alla scoperta della porta binaria di Bell;
infine, tramite una definizione ricorsiva, si presenterà l'agoritmo che genera matrici di Bell che intrecciano fino ad n-qubit.

La storia della teoria della dimostrazione rivela un lento processo di adattamento della sintassi alla semantica e della semantica alla sintassi. Questo processo è la manifestazione della sintassi-trascendentale-come-gioco-dinamico. Con la “GoI VI” (“Geometry of Interaction VI”), la sintassi e la semantica sembrano giungere ad un punto di convergenza decisivo dove la sintassi è libera. Questo fenomeno è la manifestazione della sintassi-trascendentale-come-framework. Nel seminario saranno presentati i principali aspetti della sintassi trascendentale nelle sue due accezioni.

Saranno presentate e discusse alcune questioni filosofiche connesse con la piena comprensione dei principali teoremi della logica del XX secolo (teorema di completezza della logica del primo ordine, teorema di eliminazione del taglio dalle dimostrazioni logiche del primo ordine, teoremi di incompletezza di Goedel, ...) e sarà mostrato come la Sintassi Trascendentale sia un nuovo programma di ricerca per sviluppare la logica matematica ed affrontare sistematicamente tali questioni.